单调性与最大(小)值知识点

高中数学单调性与最大(小)值知识点视频解析

高中数学单调性与最大(小)值知识点讲义

1.单调性和单调区间

一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(如图5所示);

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(如图6所示).

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如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫作y=f(x)的单调区间.

2.判断函数单调性的方法

(1)利用定义判断函数的单调性,分为四步:

①取值,设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2;

②作差,f(x1)-f(x2),通过化简向有利于判断差值符号的方向变形;

③定号,确定差值的符号,当符号不确定时,则分类讨论;

④判断,根据定义得出结沦.

(2)利用函数图象判断函数的单调性.

(3)利用基本初等函数的单调性判断所求函数的单调性.

3.复合函数的单调性

若u=g(x)在区间[a,b]上的单调性与y=f(u)在[g(a),g(b)](或[g(b),g(a)])上的单调性相同,则复合函数y=f(g(x))在[a,b]上单调递增,否则单调递减,可简记为“同增异减”.

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4.函数的最大(小)值

(1)最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.

(2)最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;

②存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.

(3)最值:最大值和最小值统称为最值.

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